Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачуо приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

В главе об определённом интеграле мы уже видели, что для неотрицательной функции величина определённого интеграла задаёт площадь криволинейной трапеции , лежащей между отрезком оси и графиком . Рассмотрим другие геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь области, лежащей между двумя графиками
Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах
Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси $ Ox$
Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости

Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Найдём длину $ l$ отрезка параболы , лежащего между точками и .

Найдём длину дуги кривой ( циклоиды ), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси .

Пример Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Пример Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Открытые и замкнутые области

Пример Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:

Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Связные множества

Пример Пусть $ {\Omega}$ -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

График функции нескольких переменных

Пределы функций нескольких переменных

Пример Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Пример

Непрерывность функции

Теорема

Ограничения функции на данное множество

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$

Свойства функций, непрерывных в области

Теорема (о промежуточном значении) Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ .

Частные производные

Вычислим частные производные функции двух переменных

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$

Частные производные высших порядков

Найдём частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции и дифференциал

Определение

Связь дифференциала с частными производными

Пример Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие Пусть даны две частные производные

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Пример Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу ) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

Пример Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Найдём частные производные функции по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Градиент и производная по направлению

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]