Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Определение тройного интеграла

Пусть в замкнутой пространственной области V определена непрерывная функция трёх переменных f(х, у, z). Разобьём область V на частичные, объёмы которых обозначим

Выберем в каждой частичной области произвольную точку, в которой вычислим значение функции , i = 1,2,...,п. Составим сумму

которая называется интегральной суммой для тройного интеграла.

Предел интегральной суммы (14) при

,

не зависящий от способа разбиения области V на частичные и от выбора точек , называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по

области V и обозначается 

В тройном интеграле f(x,y,z) называется подынтегральной функцией, dν - дифференциалом объёма.

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Приложения тройного интеграла

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить:

1) объём области V по формуле

2) массу m тела V переменной плотностью

по формуле

        Теорема 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную на отрезке $ [a;b]$. Пусть отрезок $ [a;b]$можно разбить на конечное число частей $ [a_j;b_j]$, $ j=0,1,2,\dots,m$, $ a_j=b_{j-1}$при $ j=0,1,\dots,m-1$, так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале $ (a_j;b_j)$, а в точках $ a_j=b_{j-1}$либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$.

        Доказательство.     Согласно свойству аддитивности ( замечание 7.2), достаточно доказать, что функция $ f(x)$интегрируема на каждом из замкнутых отрезков $ [a_j;b_j]$. Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию $ f(x)$в двух точках $ a_j$и $ b_j$, положив её равной соответственно $ f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$и $ f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке $ [a_j;b_j]$и, следовательно, интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно теоремам 7.3 и 7.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на $ [a_j;b_j]$, согласно замечанию 7.1. Этим завершается доказательство теоремы.     

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

        Теорема 3.8   Пусть интегрируемые на отрезке $ [a;b]$функции $ f(x)$и $ g(x)$таковы, что $ f(x)\leqslant g(x)$при всех $ x\in[a;b]$. Тогда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

        Доказательство.     Рассмотрим любое размеченное разбиение $ \Xi=(X,\ov X)$. Для любой точки разметки $ \ov x_i$, лежащей на отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$длины $ h_i$, согласно предположению, выполнено неравенство $ f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$и, следовательно, неравенство $ f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$, поскольку $ h_i>0$. Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i=
\wt S_g,$

то есть интегральные суммы $ \wt S_f$и $ \wt S_g$, построенные, соответственно, для функций $ f$и $ g$по любому размеченному разбиению $ \Xi$, связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...qslant
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g=
\int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.     

        Следствие 7.1   Пусть на отрезке $ [a;b]$задана интегрируемая функция $ f(x)$, причём для всех $ x\in[a;b]$имеет место неравенство $ m\leqslant f(x)\leqslant M$, где $ m$и $ M$ -- некоторые постоянные. Тогда

$\displaystyle m(b-a)\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant M(b-a).$

(7.4)



        Доказательство.     Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной $ C$

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $ \int_a^bm\;dx=m(b-a)$и $ \int_a^bM\;dx=M(b-a),$что и доказывает утверждение следствия.     

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:


На главную