А если завтра контрольная?


Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

Поверхностный интеграл второго рода

К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Поверхностный интеграл 2-го рода имеет вид

где - скалярное произведение, в котором - единичный вектор нормали к заданной стороне поверхности S в произвольной точке (S - поверхность интегрирования). Применяется и другое обозначение векторной функции, а именно . Если векторные функции задать своими координатами

(P(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)), (cos α, cos β, cosγ), то поверхностный интеграл 2-го рода можно записать в одной из следующих форм:

Если уравнение поверхности задано в виде z= f(x, у) и поверхность S взаимнооднозначно проектируется на координатную плоскость хОу в область хOу, то интеграл (45) можно вычислить по расчетной формуле

где запись

означает, что после вычисления скалярного произведения переменную z необходимо заменить на f(x, у).

Единичный вектор нормали  вычисляется по формуле:

 Коэффициент при орте  в формуле (47) определяет косинус

В формулах (47) и (48) выбирается знак «плюс», если угол γ между осью Oz и вектором - острый; знак «минус», если этот угол - тупой.

Формулы (46) - (48) реализуют метод вычисления поверхностного интеграла, который называется методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

Свойства поверхностных интегралов 2-го рода такие же, как у поверхностных интефалов 1-го рода, за исключением одного - при изменении стороны поверхности интеграл (45) меняет знак.

Пример 4.

 Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями  х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

Векторная функция

РЕШЕНИЕ

Заданная поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость хОу, причём область Dху - квадрат 

По условию задачи угол γ - острый, поэтому в формулах (47), (48) выбираем знак «плюс».

Рис.10 - к примеру 4

Уравнение поверхности. Вычисляем формулы (47) и (48) и результат подставляем в (46):

Признаки сравнения для неотрицательных функций. Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ;
если расходится интеграл , то расходится интеграл
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме даёт правило: если при неотрицательная функция f(x) - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с , то сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится. Примеры:
22. . Так как при , и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится;
23. . При , p = 1, интеграл расходится;
24. . При , , интеграл расходится;
25. . При , интеграл расходится.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку ( 12.1.4) , а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится , то тоже обязательно сходится).


На главную