Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):   и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

. (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

. (3)

Производная сложной ФНП. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда  – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

. (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;  – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении  зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

. (1)

Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. Уравнение , которое получается из исходного уравнения заменой функции y единицей, а y и y соответствующими степенями k, называется характеристическим уравнением.

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, то есть , то решение уравнения (1) с постоянными коэффициентами находят по формуле .

В случае действительных равных корней характеристического уравнения, то есть , общее решение (1) выражается формулой , а паре комплексно-сопряженных корней соответствует .

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для дифференциального уравнения: . Его корни

действительны и различны. Поэтому общее решение .

Пример 7. Решить уравнение y +4y +4y =0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет два кратных корня , поэтому искомое общее решение .

Пример 8. Решить уравнение y +4y +13y =0.

Решение. Составим характеристическое уравнение . Корни этого уравнения комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения: .


На главную