Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

 Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

Замечание. Для нахождения оригиналов изображений, представленных в виде рациональных дробей, следует разложить эту дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Пусть дано дифференциальное уравнение:

,

где f(t) – оригинал, а (i = 1,2,..,n) – постоянные коэффициенты. Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Обозначим изображение исходной функции , после чего найдем изображения правой и левой частей уравнения. Получив вспомогательное уравнение, разрешим его относительно X(p) и найдем оригинал его, то есть x(t).

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях .

Решение. Полагая

,

получим операторное уравнение с учетом

Так как имеет корни и , то

.

Значит, .

Разложим X(p) на простейшие дроби:

.

Отсюда

  .

Подставим в обе части этого тождества p=1. Тогда имеем

.

Полагая , получим

, откуда . Далее, подставляя найденные A и C в тождество, получим

.

Приравнивая свободные члены в обеих частях тождества, получаем уравнение для определения B:

а . И следовательно, .


На главную