Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Некоторые приложения двойных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

. (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .

Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:  где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

 Если область D можно задать системой неравенств

 то

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

Кратные и криволинейные интегралы

Двойной интеграл в декартовых координатах

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости OXY. Разобьем область D произвольным образом на элементарные ячейки , в каждой из которых зафиксируем точку . Составим сумму , называемую интегральной, которая соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при – диаметры ячеек ) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратных (повторных) интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , причем , а функции непрерывны на отрезке (рис.1).

Прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси OY. Тoгда

,

Рис. 1

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Y, а полученный интеграл интегрируется по X.

Если на отрезке [a,b] верхняя или нижняя граница области D

Рис. 2

задается несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис.2), причем двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме двойных интегралов по полученным областям.

В том случае, когда область D ограничена кривыми , непрерывными на [c,d], прямыми y = c и y = d, область D является простой и правильной в направлении оси OХ (рис. 3).

Рис. 3


На главную