Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Интегрирование тригонометрических выражений

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.3 лекций. Отметьте для себя или выпишите применяемые тригонометрические формулы. Обратите внимание на приведенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два замечания:

- если подынтегральное выражение содержит tgx или ctgx, выразите эти функции через sinx и cosx.

- не волнуйтесь, если ваш ответ не совпал с ответом в учебнике: это может случиться, если вы выбрали другой способ решения интеграла, и скорее всего существует тригонометрическое преобразование, доказывающее тождественность двух форм ответа.

6. Интегрирование простейших иррациональных выражений

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.4 лекций. Ответьте (письменно) на вопросы

Вопросы и задачи

п1. В рассматриваемом параграфе лекций выделено три типа иррациональных выражений, каждому из которых соответствует свой способ интегрирования. Кроме этого, мы и раньше встречались с иррациональными выражениями, которые можно было интегрировать путем внесения под знак дифференциала или выделения полного квадрата, есть даже табличные интегралы с корнями.

 Рассмотрите предложенные ниже (к практическому занятию) интегралы и предложите для каждого метод решения.

Задачи к практическому занятию

1. ; 2. ;  3. ; 4.

5. ; 6. ; 7.

8. ; 9. .; 10. ; 11.

12.; 13.; 14.

Интегрирование простейших иррациональных выражений

Определенные интегралы, несобственные интегралы

Задания для подготовки к практическому занятию

Вопросы и задачи

п2. Как вы думаете, существует ли ? Обоснуйте ответ.

п3. Вычислите определенные интегралы:

 а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 е) ; ж) ; з) ; и); к)

Задачи к практическому занятию

Вычислить определенные интегралы:

Теорема 3. Если в односвязной области , то существует такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим переменную точку и любую кривую , соединяющую с .

По следствию теоремы 2, зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что - искомая функция, т.е. . Для этого рассмотрим точку и рассмотрим , где - отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке и . Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что , где . Тогда . . Для доказательство аналогичное.

Замечание. Если векторное поле обладает свойством в односвязной области , то говорят, что - потенциальное поле и найденная функция такая, что , т.е. , называется потенциалом поля .

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если соединяет , то работа вдоль равна . Т.е. работа равна разности потенциалов.

Примечание. Условие односвязности существенно.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т.о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит . Рассмотрим - окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.


На главную