Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля  найдем его ротор по формуле (19):

Следовательно, поле потенциально.

 Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл  по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По формуле (20) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

 Найдем работу векторного поля  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (21):

.

Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: , где - непрерывные на функции, L - граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

Доказательство. Вычислим .

При каждом фиксированномвеличина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .

Разобъем кривую L на 4 участка.

. .

Поэтому .

Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция , где - непрерывные на функции, L - граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть .

Тогда .

Доказательство.. Теорема доказана.


На главную