Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Производные ФНП высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности непрерывные частные производные первого порядка  и . Так как  и  являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта:

– эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y).

Частные производные  и   называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример. Дана ФНП . Вычислим все её частные производные второго порядка.

Основное свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y) и её частные производные , ,  и  определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности, то в этой точке =, то есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т.о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит . Рассмотрим - окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.


На главную