Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

  Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):  и , то существуют частные производные от функции (x, y), которые можно вычислить по формулам:

. (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например: [an error occurred while processing this directive]

 (3)

 

Производная сложной ФНП. Полная производная

 

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда  – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

. (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;   – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении  зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

Площадь поверхности

Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность , представляющую собой график функции (1), имеющей непрерывные частные производные для всех , где - область на плоскости.

У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое составляет с осью острый угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью ).

Пусть - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости числа представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей мы получим 2 единичных вектора (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .

Пусть - замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающей ее край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернемся в исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)).

Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мебиуса. Если обходить контур, то при возвращении в исходную точку направление нормали изменится на противоположное. Это доказывает одностороннесть листа Мебиуса.

В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.

Обычно удобно задавать поверхности параметрическими уравнениями (4), где ( - некоторая плоская область).

При этом мы считаем, что уравнения (4) задают взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .


На главную