Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в двумерной области DxOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x, y).

Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.

Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.

Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке  называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:

, (7)

где векторы  – это орты координатных осей.

Вектор градиента  направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .

Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора характеризует величина , называемая производной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат xОy   вектор  имеет направляющие косинусы cosa и cosb, то производная функции U(x, y) по направлению вектора  в точке М0 – число  – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :

, где модуль вектора: .

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x, y, z), . Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x, y, z) = const.

Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):

, (9)

где векторы  – это орты координатных осей.

 Вектор  поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали к поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем - потоком вектораКурс лекций математического анализачерез поверхность в указанную сторону.

Этот термин совпадает со следующей гидродинамической задачей. Пусть - вектор скорости течения жидкости в момент . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности за момент времени . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием и высотой , т.е. этот объем равен .

Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.

Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенциейскалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

  1. . Здесь - скалярное поле и символ

обозначает скалярное произведение этих векторов.


На главную