Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ  в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

.

Пусть  – векторное поле, заданное в области VxOyz . Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

, (17)

которая характеризует наличие источников (если > 0) и стоков (если < 0), или их отсутствие (если = 0) векторного поля в точке М. [an error occurred while processing this directive]

Используя выражения для дивергенции и для потока вектора  через замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:

, (18)

т.е. поток вектора  через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ.

 

Потенциальное векторное поле и его потенциал

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x, y, z), что . Функция U называется потенциалом векторного поля .

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).

Пусть векторное поле  задано в некоторой области V.

Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.

Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля  – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.

Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если  потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение

 является полным дифференциалом функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида

вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой  и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

.

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:

.

При этом получаем потенциал U(x, y, z) векторного поля  с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

 В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную ВEKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y0, z0), K(x, y, z0).

В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:

 

. (20)

Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы

,

то с помощью потенциала можно найти работу силы  при перемещении единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:

.  (21)

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус. состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .


На главную