Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Задача. Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,

x + y = 3. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

1)       Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

1-го порядка равны нулю:

Решаем систему:

 Стационарная точка М(2, 0) (рис. 9) и является внутренней точкой области. Вычислим значение функции в этой точке:

.

 Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.

а) Уравнение участка АВ имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной у:

.

Исследуем поведение z1 (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно, непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо на концах промежутка, либо в стационарных точках внутри промежутка (если они есть).

Исследуем поведение функции z1(y) на участке АВ:  – стационарная точка на границе АВ, совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z1(A) = z1(–1) = 4, z1(B) = z1(3) = 20, получаем: .

б) Уравнение участка АС имеет вид:  и функция z  является

функцией одной переменной x:

.

Исследуем поведение функции z2(х) на участке АС:  – стационарная точка на границе АС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z2(A) = z1(А) = 4, z2(С) = z2(4) = 8 и z2(х0) = z2(1,5) =1,75, получаем: .

в) Уравнение участка ВС имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной х:

Исследуем поведение функции z3(х) на участке ВС:  – стационарная точка на границе ВС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции

z3(В) = z1(В) = 20, z3(С) = z2(С) = 8 и z3(х1) = z3(2,5) =1,25,

получаем: .

 Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:

zнаиб = z(В) = 20,  zнаим = z(М) = 1.

2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,3) и М(2,0), а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции  z(x, y) в этих точках.

Ответы: 1) zнаиб = z(В) = z(0,3) = 20,  zнаим = z(М) = z(2,0) = 1; 2) рисунок 9.

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где- внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность состоит из частей и , задаваемых уравнениями (это - верхняя полусфера) и (это уравнение для нижней полусферы ). На внешняя нормаль составляет с осью острый угол, на - тупой.

Поэтому . Аналогично, т.к. на , а нормаль составляет с осью тупой угол, . Значит, . Поэтому .

13.Формула Остроградского. Ее векторная запись

Теорема. Пусть - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть - функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где - внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху - графиком функции , снизу - , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим, т.к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .

Итак, .


На главную