Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Задача Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

1)  представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2)  проверить, является ли функция w аналитической;

3)  в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10): [an error occurred while processing this directive]

Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

 

Векторная запись формулы Остроградского. Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где - непрерывно дифференцируемое векторное поле, - замкнутая поверхность, ограничивающая объем и - вектор внешней нормали.

Левая часть формулы имеет вид , т.е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

При сформулированных выше условиях .

14.Формула Стокса. Ее векторная запись

Теорема. Пусть - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано) и - кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции - непрерывно дифференцируемые. Тогда .

Замечание 1. Равносильная формулировка: .

Замечание 2. В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя .


На главную