Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Решение примерного варианта контрольной работы №2

  Задача  Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

1)       найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости  d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2)       используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

1)     Чтобы вычислить поток поля  через плоскость треугольника АВС используем формулу (16): ПАВС =, где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями: [an error occurred while processing this directive]

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).

Из уравнения плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим

 .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.

Это означает, что вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:

ПАВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

  Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

 Вычислим  и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и  (из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля  через плоскость треугольника АВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

 

  2) Чтобы вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

  Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17): . Для поля  получаем:

.

  Вычислим поток поля   через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где  – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезкаопределяется аналогично и для . Напоминаем: величинаотрезка представляет собой его длину со знаком "+", если векторы и одинаково направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: , где - градиент скалярного поля в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.


На главную