Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Двойной интеграл

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте § 23 лекций и предложенные рассуждения. Ответьте на вопросы и решите задачи

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

3.

Интеграл, вычисленный в последнем примере, называется повторным интегралом и записывать его принято так:

Вопросы и задачи

п1. Вычислить интегралы, если возможно:

 а) ; б) ; в)

п2. Вычислить повторные интегралы:

 а) ; б)

Задачи к практическому занятию

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1.; 2.;

3.; 4.

Изменить порядок интегрирования:

5.; 6.;

7.; 8.

Вычислить:

9.

10.

11.

12.

Криволинейный интеграл 2-го рода

Рассмотрим кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т.е. не обязательно дают разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).

Пусть - определена на AB. Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа.

Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим .

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. При условиях предыдущей теоремы .

Примечание 1.

  1. Если кривая L задана явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид: .
  2. Если L задана уравнением , то .
  3. Если L - отрезок прямой , то для любой функции P, если L - отрезок прямой , то

для любой функции Q.


На главную