Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Раскрытие некоторых типов неопределенностей.

Пример 3. Вычислить 

Имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на наивысшую из имеющихся в числителе и знаменателе степеней , т.е. на . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и теорему 11.4, найдем

 

 .

Пример 5. Вычислить 

Применяя тот же прием, что в предыдущем примере, находим

.

Пример 6. Вычислить .

Разделив почленно числитель и знаменатель на , получим

.

Решения последних трех примеров позволяют записать следующую общую формулу:

   (4.25)

Пример 7. Найти предел последовательности 

Символ n! (читается “эн факториал”) вычисляется по формуле (СР 9.2), т.е.

,

.

Имеем

.

Пример 8. Вычислить 

.

Пример 9. Вычислить 

  .

Пример 10. Вычислить 

  .

 

Пример 12. Доказать, что при  

 . (11.20)

 При   доказательство очевидно. Пусть , тогда последовательность  – монотонно убывающая и ограничена снизу (). Следовательно, по теореме 11.6 последовательность   имеет предел, который обозначим через . Последовательность , за исключением первого члена, также сходится к числу , т.е. . Отсюда следует, что

, т.е.

или . Так как , то .

Пусть . Рассмотрим

 .

Пример 13. Вычислить .

 При   получается неопределенность вида . Поэтому сначала разделим числитель и знаменатель выражения, стоящего под знаком предела, на . Затем, применяя (11.5), (11.3), (11.6) и (11.20), найдем

.

Число е . Рассмотрим последовательность

.

Придавая  различные натуральные значения, получаем таблицу:

1

2

10

100

1000

10000

100000

2

2,25

2,594

2,705

2,717

2,718

2,718

Из таблицы видно, что  с возрастанием  изменяется все медленнее и, по-видимому, стремиться к некоторому пределу. Докажем это.

Согласно неравенству Бернулли (10.1), . Обозначим . Тогда для последовательности  имеем . Выполнив преобразования над отношением

, получим, что .

Итак, последовательность  монотонно убывает и ограничена снизу числом 2.

Следовательно, она имеет конечный предел, причем, , т.е. последова-тельность  тоже имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е:

.  (4.29)

Число е иррациональное, которое называют неперовым* числом. Его приближенное значение равно 2,72 (). Число е принято за основание натуральных логарифмов, которые обозначаются , т.е. .

Найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами. По определению логарифма (СР 4.2) имеем . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

, т.е. .

Пользуясь таблицей десятичных логарифмов, находим . Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значит,

   . (11.22)

Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

Число е часто используют для раскрытия неопределенности [].

Пример 14. Вычислить .

 При   получается неопределенность вида []. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела так, чтобы использовать (11.21).

[]

.

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п.


На главную