Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Пример. Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Функция  является первообразной для функции , так как , .

Функция  является первообразной для функции   на интервале , так как  . ●

Очевидно, что функции ,  и  , где , будут также первообразными для соответствующих функций , поскольку для них выполняется равенство (16.1).

 

Пример 2. Для функции  найти первообразную, которая при  принимает значение .

○ В примере 1 было установлено, что . Подставим в это выражение начальные условия , ; получим , откуда . Следовательно, искомая первообразная имеет вид . ●

В гл.17 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. А пока будем считать, что всюду в данной главе осуществляется интегрирование непрерывных функций.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, разрывна, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.

Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Пример 3. ○

*

.●

Пример 4. ○

  (вывод формулы 8). ●

Пример 5. ○

  (вывод формулы 12). ●

Пример 6. ○

  (вывод формулы 20). ●

Пример 7. ○

  (вывод формулы 23). ●

Пример 8. ○

  . ●

Для нахождения интегралов вида

 ,  (6.11)

используются формулы СР: (7.31) ÷ (7.33), а при нахождении интегралов вида

 (6.12)

используются формулы  СР: (7.18); (7.19).

Пример 9. ○

. ●

Пример 10. ○

. ●

Пример 11. Найти

○ Выделяя в квадратном трехчлене полный квадрат, согласно , получим

.●

Пример 12. Найти

○ Используя , получим

  ●

Применяя сочетание методов подведения под знак дифференциала и разложения, интегралы вида

  и  (6.13)

путем выделения в числителе производной  квадратного трехчлена и выделения полного квадрата в квадратном трехчлене, приводятся к табличным интегралам.

Пример 13. Найти

○ Имеем  Используя , получим

   ●

Пример 14. Найти

○ В данном случае подынтегральная функция является неправильной дробью . Путем деления числителя на знаменатель  и применения формулы , получим

    ●

Как видно, нахождение интегралов иногда требует некоторой изобретательности, которая приобретается в результате решения значительного числа примеров.


На главную