Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Пример 15. Найти .

Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, согласно СР: (2.2), получим .

Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

Интегралы вида

  (6.16.)

сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки . [an error occurred while processing this directive]

Пример 16. Найти .

○ Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 17. Найти .

○ Положим   , тогда . Следовательно,

. ●

При замене переменной в неопределенном интеграле часто оказывается проще задавать не , как функцию от , а, наоборот, задавать  как функцию от .

Так, если интеграл имеет вид , то его можно упростить с помощью подстановки ,  и найти интеграл аналогично (6.15), т.е.

. (6.17)

Пример 18. Найти .

○ Обозначим , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 19. Найти .

○ Обозначим , тогда . Следовательно,

. ●

Пример 20. Найти .

○ Обозначим , тогда  . Следовательно,

. ●

Общих методов подбора подстановок не существует и удачный ее выбор обычно сопряжен с известными трудностями. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Метод интегрирования по частям

Пример 21. Найти .

○ Положим , . Тогда , а  . Подставляя найденные выражения в (6.18), получим

. ●

Пример 22. Найти .

. ●

В отдельных случаях формулу (16.18) приходится использовать несколько раз.

Пример 23. Найти .

. ● (6.20)

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно находить с помощью формулы (16.18)

 

Пример 24. Найти .

○ 

. ●

Интеграл вида

, (6.23)

где .

Он выражается через элементарные функции, если последовательно применять формулу (16.18), полагая , , а .

Пример 25. Найти .

○ 

. ●


На главную