Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Пример 26. Найти .

○ Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

.

Решая это уравнение относительно , окончательно получим

. ● (6.24)

Аналогично находим

. (6.25) [an error occurred while processing this directive]

Пример 27. Найти .

.

Таким образом, получаем уравнение

,

откуда

. ● (6.26)

Аналогично находим

. (6.27)

Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.

Пример 28. Найти .

○ Произведем над подынтегральной функцией следующие тождественные преобразования:

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

.

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

 (6.28)

где .

Таким образом, зная интеграл , по рекуррентной формуле (6.28) можно найти интеграл . Например, при  имеем

. ● (6.29)

Для интегралов вида

 и ,

где , также можно получить рекуррентные формулы, позволяющие понижать степень  и тем самым позволяющие в конечном итоге свести интегрирование к ТИ: 27; 28. Действительно, интегрируя по частям и используя ТИ: 27; 28, получим

,

.

При применении к формулам (6.24) – (6.28) свойства 6.5º, получим ТИ: 25 ÷ 29.

Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования.

Пример 29. Найти .

○ Обозначим х2 = t, тогда dt = 2x dx. Следовательно,

. ●

Перейдем теперь к интегрированию некоторых видов элементарных функций. При этом мы систематически будем пользоваться изложенными в этом параграфе общими методами интегрирования.


На главную