Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §§24, 25.1,3,4 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

 

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что , получаем: . Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе его части на , то все у соберутся слева, а все х – справа.

б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)

в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

 и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на )

г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой )

д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив . Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.

Вопросы и задачи:

п1. Дано дифференциальное уравнение:. Являются ли решениями этого уравнения функции:

 а) ; б) ; в) ?

 Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?

п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:

 а); б); в);

 г); д); е);

 ж); з); и)

п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)

Задачи к практическому занятию

1.; 2.;  3.;

4.; 5.;

 6.; 7.;

8.; 9.;  10.

11.; 12.;

13.; 14.

Примечание 2. Пусть - угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда . Поэтому .

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где - непрерывные на функции, а f - непрерывна на L, то .

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем .

Примечание 4. Говорят, что на области задано векторное поле, если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим - радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение) . Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.


На главную