Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Интегрируем многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример 33. Найти интегралы от рациональных дробей примеров 30 ÷ 32.

○  1) 

.

.

.

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене  . Сделаем подстановку . Тогда  и

.

.

.

.

.

.

.

  . ●

 

Пример 34. Найти .

○ Используя подстановку , с учетом соотношений (16.40), получим

.  ●

Хотя подстановка  интеграл  всегда приводит к интегралу от рациональной функции, но очень часто это ведет к слишком громоздким преобразованиям. Поэтому во многих случаях целесообразно пользоваться другими методами нахождения этого интеграла. В частности, удобны следующие правила:

Если функция  нечетна относительно , т.е. , то удобна подстановка ;

Если функция  нечетна относительно , т.е. , то рекомендуется применять подстановку ;

Если функция  четна относительно  и , т.е. , то вводим подстановку .

Часто подынтегральную функцию  можно представить в виде . В этом случае также используется подстановка , для которой ; .

Подстановку  целесообразно применять к интегралам вида

.  (6.42)

Пример 35. Найти .

○ 

.  ●

Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

Если , то полагая , , получим

.

Последний интеграл находим методом разложения.

Пример 36. Найти .

○ 

.  ●

Если , то полагая , , получим

.

Интеграл  также находится методом разложения.

Если ,  и  от – целые числа, то интеграл приводится к виду

 (при )  или  (при ).

В первом случае полагаем . Тогда, используя формулу СР: (6.16), получим

    и .

Во втором случае полагаем . Тогда, используя формулу СР: (6.17), получим

    и .

Полученные интегралы, после деления многочленов по правилу “деления углом” (СР: 1.4), находим методом разложения.

Пример 37. Найти .

○ 

.  ●

Если – четное отрицательное число, то интеграл приводится к виду

  или  .

В первом случае полагаем , откуда  и

.

Во втором случае полагаем  и аналогично находим, что

.

При  или   получим интегралы

.

Пример 38. Найти .

○ . ●

Если – целое нечетное отрицательное число и , то применяя подстановку , с учетом (16.40), получим

  .

Если – целое нечетное отрицательное число и , то интеграл имеет вид  .

Его удобнее вначале преобразовать к виду 5) с помощью подстановки . Тогда , .

7) Если   и  – целые четные положительные числа (одно из чисел  или  может быть равно нулю), то интеграл целесообразно находить, используя формулы СР: (7.9); (7.18); (7.19).

Пример 39. Найти .

○ 

.  ●

Рассмотрим некоторые случаи рационализации интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы вида . Рассмотрим интегралы указанного типа, где  – и действительные числа;  – рациональные числа.

Пусть  – наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей, т.е. , , где  – целые числа. Покажем, что такой интеграл рационализируется подстановкой .

В самом деле,

    и ,

так что

,

где  – рациональная функция аргумента .

Пример 40. Найти .

○ В рассматриваемом интеграле наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,  и  есть 12. Поэтому вводим замену , , . Следовательно,

.  ●


На главную