Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Интегрирование дифференциального бинома. Выражение вида , где  – рациональные числа, а  – действительные числа, называется дифференциальным биномом.

Рассмотрим интеграл

. (6.43)

Как показал Чебышев П.Л., интеграл (16.43) рационализируется лишь в следующих трех случаях:

если  – целое число, то применяется подстановка  , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и ;

если  – целое число, то применяется подстановка  , где  – знаменатель дроби ;

если  – целое число, то применяется подстановка , где  – знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях интеграл (16.43) через элементарные функции не выражается.

Пример 41. Найти .

○ Здесь имеем . Так как  , то в соответствии со случаем 3), делаем подстановку

    , . Таким образом,

  ●.

Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Выделив под знаком радикала полный квадрат в квадратном трехчлене и сделав подстановку , исходный интеграл приводится к интегралу одного их следующих трех типов: 1) ; 2) ; 3) .

Четвертая комбинация знаков  приводит нас к подынтегральной функции, которая не существует в действительной области.

Покажем, что интегралы этих трех видов с помощью соответствующих тригонометрических подстановок приводятся к интегралам вида .

1) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.44)

2) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.45)

3) Применяя подстановку  , получим  ,

.

. (6.46)

Интегралы вида , как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.

Пример 42. Найти .

○ В соответствии с 2) применим подстановку  . Тогда , . Следовательно,

,

так как . ●

Метод неопределенных коэффициентов. Вычисление интегралов вида   часто сводится к нахождению интегралов следующих трех типов:

1. ; 2. ;

3. ,

где  – многочлен, .

Покажем, что интегралы 2-го и 3-го типов могут быть сведены к интегралу 1-го типа.

Действительно,

где  - многочлен.

Для приведения интеграла 3-го типа к интегралу 1-го типа применяется подстановка , , . Тогда,

,

где  – коэффициенты трехчлена, полученные после приведения подобных членов,  – многочлен.

Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде

, (6.47)

где  – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяется метод неопределенных коэффициентов (метод Остроградского М.В.*), согласно которому дифференцируют обе части равенства (6.47), затем умножают на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определяют   и коэффициенты многочлена .

Пример 43. Найти .

○ По формуле (6.47) имеем:

.

Дифференцируя это равенство, затем умножая на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , определим коэффициенты :

;

;

  .

Следовательно,

. ●

Интегралы вида  где , в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом, если  или , то они называются эллиптическими, если же , то – ультраэллиптическими. В некоторых частных случаях интегралы  могут выражаться и через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическими.


На главную