Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Использование понятия неопределенного интеграла в экономике

Рассмотрим различные соотношения между суммарными, средними и маргинальными величинами, использующие понятие неопределенного интеграла.

Пример 44. Определить функциональное соотношение между количеством выпускаемой продукции и общими производственными затратами, а также средние затраты, если   а фиксированные затраты составляют 5000 у.е.

○ Интегрирование  и прибавление к полученному результату фиксированных затрат приводит к следующей функции общих затрат:

Средние затраты  равны:

. ●

Пример 45. Найти функциональную зависимость общего и среднего доходов от единицы продукции, если известна функция маргинального дохода в зависимости от Q:

○  Интегрирование MR(Q) и прибавление к полученному результату C=0 (доход без производства) приводит к следующей функции общего дохода:

Средний доход  определяется как часть общего дохода, приходящегося на единицу продукции, т.е.

Зная эти три функциональные зависимости, легко найти маргинальный доход, общий доход и средний доход для конкретного уровня производства. ●

Рассмотрим еще один пример применения неопределенного интеграла для определения функциональной зависимости наращивания капитального имущества. Такие зависимости применяются при анализе национальной и региональной экономики. Если формирование капитала (новые заводы, оборудование, машины и т.п.) рассматривать как непрерывный процесс, зависимый от времени, то переменная капитального имущества определяется в виде функции от времени. Зная процесс формирования капитального фонда (например, новые капиталовложения) как функции от времени, можем определить общий капитальный фонд в виде неопределенного интеграла с точностью до постоянной интегрирования C. Постоянная C определяется из начальных условий (величина общего капитального фонда в какой-то фиксированный момент времени, например, при ).

Пример 46. Найти общую сумму капитального имущества (в у.е.), если известна величина капитального блага в начальный момент времени , которая составляет 10 млрд. у.е. и темп новых инвестиций как функция времени  где t измеряется в годах.

○ Интегрируя функцию инвестиций g(t), получим функциональное выражение величины капитала (в млрд. у.е.) как функцию времени, т.е.

Это и есть функциональная зависимость общей суммы капитала в каждый момент времени, измеряемого в годах после начального момента. ●

        Пример 7.3   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Для этого сделаем замену $ x={\varphi}(t)=\sin t$, откуда $ dx={\varphi}'(t)dt=\cos t\;dt$. Кроме того, при $ t=0$имеем $ x=\sin0=0$, а при $ t=\frac{\pi}{2}$имеем $ x=\sin\frac{\pi}{2}=1$. Получаем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt=
\left\vert\begin{array}...
...end{array}\right\vert=
\int_0^1x^2dx=\frac{x^3}{3}\Bigr\vert _0^1=\frac{1}{3}.$

    

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Пример 7.4   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Выгодно взять $ u=x$и $ dv=e^{2x}dx$, так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=x\\ 
 dv=e^{2...
...ht\vert=
 x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1
 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx=
 \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$

   

$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$

   

 

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$мы вычислили так:

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=
1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 7.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...rray}{l}
 u=x\\ 
 dv=\cos x\;dx\\ 
 du=dx\\ 
 v=\sin x
 \end{array}\right\vert=$

   

$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}...
...\sin x\;dx=
 \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$

   



Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$и $ x\sin x$, а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$, что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.    


Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.
Примеры: 3. . Интеграл сходится.
4. следовательно, интеграл сходится и равен .
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности , и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).


Примеры:
7. . На всём промежутке интегрирования ; интеграл сходится (p = 7 > 1 ), поэтому исходный интеграл сходится;
8. . Здесь при , расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится;
9. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;
10. . На всём промежутке интегрирования (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.
Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших x выполняются неравенства , поэтому и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.


Признак сравнения в предельной форме Примеры:
11. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.
12. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
13. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
14. . При эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.

 


Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
15. . ; интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
16. . , первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.
Пример: исследовать на сходимость интеграл .
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: .

Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится.
Вывод - исходный интеграл сходится условно.


Примеры: 17. - интеграл расходится;
18. - интеграл сходится.


Применение формулы Ньютона-Лейбница
Примеры: 19. (интеграл сходится).
20. (интеграл расходится).
В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.


На главную