Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Комплексные числа

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) называются равными, если x1 = x2 и y1 = y2;

2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида

z = (x1 + x2, y1 + y2);

3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число

z = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что z2 + z = z1, откуда находим z = z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2).

Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда , т. е. i2 = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

Координаты точки на прямой и плоскости. Расстояние между двумя точками


Расстояние d между точками A(x1) и B(x2) на оси:

Величина AB (алгебраическая) направленного отрезка на оси:

AB = x2 - x1.

Если известны координаты концов отрезка прямой, то тем самым положение отрезка на плоскости вполне определено. Координаты точки записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x1 - абсцисса точки A, а y1 - ее ордината, то это записывается так: A(x1, y1).

У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты начала координат равны нулю.

Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле:

Проекции на оси координат направленного отрезка, или вектора на плоскости с началом A(x1, y1) и концом B(x2, y2):

Тангенс угла между отрезком и положительным направлением оси Ox определяется по формуле (этот угол отсчитывается от оси Ox против часовой стрелки):

Определенный по этой формуле является угловым коэффициентом прямой.

Внутренней бинарной операцией на множестве E называется отображение .

Пусть заданы два множества E и F.

Внешней бинарной операцией на множестве E называется отображение .

Множество E, обладающее внутренней бинарной операцией , называется группой, если:

1) операция ассоциативна: ;
2) имеется нейтральный элемент: такое, что справедливо равенство ;
3) всякий элемент имеет симметричный: такое, что .
Если, кроме того,
4) операция коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Если операция есть сложение, то группа называется аддитивной, если есть умножение, то группа называется мультипликативной.

2. Аксиомы поля действительных чисел

Множество R = {a, b, c, ...} называется полем действительных (вещественных) чисел, если для его элементов установлены бинарные отношения и бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам.

Аксиомы сложения

С.0. В множестве R определена внутренняя бинарная операция - сложение

которая каждой паре элементов однозначно ставит в соответствие некоторый элемент множества R, называемый их суммой и обозначаемый символом a + b. При этом выполняются следующие аксиомы:

С.1. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативный закон).

Д.1. Операция умножения дистрибутивна относительно сложения, т.е.

Множество {a, b, c, ...}, удовлетворяющее аксиомам С, У и Д, называется числовым полем. Это же множество без аксиомы У.4 называется телом.

Аксиомы порядка

П.0. В множестве R задано отношение ≤, которое вполне упорядочивает R:

П.1. (рефлексивность).

П.2. (антисимметричность).

П.3. (транзитивность).

П.4. или , или , или то и другое.

Следующие две аксиомы связывают отношение порядка и бинарные операции:

ПП.1. Если и , то .

ПП.2. Из и следует .

Аксиома о верхней грани

Множество называется ограниченным сверху, если существует элемент такой, что , при этом число M называется верхней гранью множества A.

Верхняя грань M* множества A называется точной верхней гранью множества A, если всякая другая верхняя грань M множества A не меньше числа M*.

Точная верхняя грань множества A обозначается символом sup A.

В.0. Всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

Действительные числа

1. Бинарные отношения и бинарные операции

Бинарным отношением в множестве E называется всякое подмножество B из произведения .

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности в множестве E, если подмножество :

a) рефлексивно: ;
б) симметрично: ;
в) транзитивно: .

Вместо часто пишут a ~ b или a = b.

Бинарное отношение называется отношением порядка в множестве E, если оно:

a) рефлексивно: ;
б) транзитивно: ;
в) антисимметрично: .

При этом говорят, что отношение упорядочивает E. Вместо часто пишут или .

Если всегда или , то говорят, что множество E вполне упорядочено.


На главную