Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника

1. Если x1 и y1 - координаты точки A, а x2 и y2 - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

2. Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) вычисляется по формуле

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

3. Площадь многоугольника с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), ..., F(xn, yn) равна

Выражение вида равно x1y2 - x2y1 и называется определителем второго порядка.

Элементы теории множеств

1. Логические символы

Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A. [an error occurred while processing this directive]

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

2. Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Ясно, что

Если , то . Если при каждом множество f -1(y) состоит не более чем из одного элемента , то f называется взаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.

Отображение называется:

- инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;

- сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E) = F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;

- биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.


3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения

1) Пусть и . Поскольку , то отображение g каждому элементу относит определенный элемент .

Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие элемент

Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.

Функция. Отображение


1. Функция

Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу ставит в соответствие определенный элемент .

Элемент называют независимым элементом, или аргументом функции f, элемент называют значением функции f, или образом; при этом элемент называется прообразом элемента .

Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение записывают в виде равенства y = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.


2. Образ и прообраз множества при заданном отображении

Пусть задано отображение и множество .

Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образом множества D и обозначается f(D).

Очевидно, .

Пусть теперь задано множество .

Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1(Y).


На главную