Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Геометрические и физические приложения

Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

  (39)

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

  (40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l: 

  - (41)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

 - (42)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

  -  (43)

моменты инерции кривой относительно координатных осей. [an error occurred while processing this directive]

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

 .  (44) 

 

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

  , (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение.

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

  (46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

  (47)

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

  Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

  (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

  

 (49)

моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

   - (50)

моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

  - (51)

момент инерции поверхности относительно начала координат.

Координаты центра масс поверхности:

 . (52)

III. Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

  (53)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

  (54)

называется линейным интегралом от вектора  вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора  вдоль кривой L.


На главную