Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий   (направление обхода положительно).

Решение.

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

  (55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Поверхностный интеграл 1-го рода

  (56)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Пример 10.

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):

Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется

 . (57) 

Пример 11.

Найти дивергенцию и ротор векторного поля  где

Решение.

Найдем координаты вектора а:

Тогда

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (58) 

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Пример 12.

Проверить, является ли векторное поле

потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.

Решение.

Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:

В нашем случае

Следовательно, поле  потенциальное. Найдем его потенциал и, считая, что и(0;0;0) = 0:

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

 div A = 0. (59)


На главную