Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.

Рассмотрим пример.

 Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, положив n=4.

Формула Симпсона приближенного интегрирования позволяет численно определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно вычислить значение функции в n=4 точках, полученных в результате разбиения отрезка  на n отрезков (n – четное число)  шаг разбиения    значение подынтегральной функции на концах отрезков.

Составим таблицу:

K

0

0

0,00

1

0,4

0,16

2

0,8

0,64

3

1,2

1,44

4

1,6

2,56

Формула Симпсона Задача Ньютона-Лейбница Понятие неопределенного интеграла связано с понятием первообразной. Найти первообразную – это значит «взять интеграл» Интегрирование – это операция обратная дифференцированию. [an error occurred while processing this directive]

Подставив в эту формулу конкретные значения, получим

Вычислять интегралы приближённо можно не только при помощи метода Симпсона, но и других методов. Подробнее об этих методах можно прочитать в[1] гл. XIII ,[4] гл.11 пр.8 

Решите самостоятельно задачу:

Найдите число  , пользуясь интегралом

Все следующие задачи будут относиться к функциям нескольких переменных. Переменные x,y,z,t… называются независимыми между собой, если каждая из них может принимать любые значения в своей области изменения, независимо от того, какие значения принимают при этом остальные переменные. Переменная величина U называется функцией независимых переменных, если каждой совокупности значений этих переменных в области их изменения соответствует единственное определённое значение и: u=f(x,y,z,…t)

Областью определения функции f(x,y…t) называется совокупность значений независимых переменных x,y…t , при которых функция определена.

Частные приращения функции

Если u=f(x,y,z) и одна из независимых переменных, например x , получила приращение , то частным приращением  функции называется

Аналогично для y и для z или любой другой переменной в случае большего числа переменных.

Частные производные

Составим отношение  Если при стремлении  это отношение стремится к определённому пределу, то этот предел называется частной производной функции U по независимой переменной X обозначается  Таким образом   Аналогично  и т.д.

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных производится по тем же правилам, по которым вычисляются производные функции одной независимой переменной, следует лишь считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой вычисляется частная производная.

Пример 1 Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

 Решение : Частные производные от функции нескольких переменных по одной из переменных находятся в предположении, что другие переменные являются постоянными величинами. Таким образом, функция нескольких переменных становится обычной функцией одной переменной, к которой применяются все известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Требуется найти  Положим

Находим производную функции  по переменной :

Полагая , находим первую производную функции

   по переменной y:

Теперь найдем производные второго порядка. Возьмем первую производную по   , считая  постоянным, продифференцируем еще раз по .

Получим . Если, считая x постоянным, мы продифференцируем  ещё раз, но уже по y, то получим

.

Теперь возьмем первую производную по  и считая x постоянным, продифференцируем   еще раз по y. Мы получим

.

Если мы, взяв , и считая y постоянным, продифференцируем  еще раз, но по переменной x получим

.

Обратим внимание, что ; это равенство справедливо при условии непрерывности данных производных.

Продолжим рассмотрение функции нескольких переменных. Полное приращение функции определяется по формуле: где - приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменных  и их дифференциалы dx, dy, dz – числа равные между собой.

. Полный дифференциал функции

(То есть в случае функции двух переменных).Полный дифференциал функции есть главная часть её приращения, линейная относительно , то есть или же  для функции трёх переменных или  для функции двух переменных. Подробнее  (*)

где .

Подробнее о дифференциале функции нескольких переменных можно прочесть в [4] гл.8 или в [1] гл.15

Пример 1. Даны функции  и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.

Решение: Приближенное значение некоторой функции f(x,y) в точке (x,y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

,

где , значение функции f(x,y) в точке .

Точка подбирается таким образом, чтобы легко вычислялось; , приращение функции f(x,y) в точке по переменным x и y соответственно.

В качестве точки возьмем точку N(1,2), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.

Тогда

в точке

в точке

Вычислим точное значение

Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешность  или относительную погрешность


На главную