Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Пример 1. Даны функция трех переменных , вектор  и точка .

Найти: 1) Grad u в точке M0;

 2) производную в точке M0 по направлению вектора ;

  3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.

Решение: 

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad  (или  в случае двух переменных) Матрицы и определители. Понятие матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, единичная, диагональная). Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц, транспонирование матриц). Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Минор и алгеброическое дополнение. Обратная матрица и ее вычисление.

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.

Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:

2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Так как , то его длина  и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим

Итак производная функции u по направлению вектора  равна .

3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение производной  в данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции u(x,y,z)

|grad u| = .

 

 

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных.

 Двойным интегралом от функции  по области D называется предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n стремится к бесконечности, а наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

  Если функция  непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и от выбора точек Рк

 Если >0 в области D, то двойной интеграл

геометрически есть объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, и снизу областью D плоскости ХОY.

Основные свойства интегралов

1.

2. где С – постоянная

3. Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то

  Различают два основных вида области интегрирования:

Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=в (a<в), а снизу и сверху непрерывными кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке / рис.1/.

  По такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется внутренний интеграл  в котором х считается постоянным.

Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y=c и y=d (c<d) , а слева и справа непрерывными кривыми х=φ1(y) и х=φ2(y)   каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке ( рис. 2).

В такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

Причем сначала вычисляется интеграл  в котором y считается постоянным.

 Правые части формул называются двукратными или повторными интегралами. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным.


На главную