Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Вычислить двойной интеграл: 

По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Решение: Изобразим область D. Кривые, задающие область D представляют собой параболы. Составив из их уравнений систему и решив её, найдём точки их пересечения.

 Итак, точки пересечения парабол(1,1) и (-1,1). Изобразим область D в декартовой системе координат. Основы дифференцирования Функцией называется непрерывной, если в каждой своей точке из области определения, данная функция будет иметь производную.

 

  Двойной интеграл в декартовых координатах записывается так:В зависимости от вида области интегрирования двойной интеграл сводится к повторному по разным формулам.

 Область D является областью первого вида, х изменяется от -1 до +1, у от у=х2 до у=2-х2, следовательно наш интеграл сводится к следующему повторному интегралу:

  Возьмем внутренний интеграл, считая х – постоянным, то есть рассматривая его как обычный интеграл по переменной у.

А затем внешний интеграл по переменной х

Пример 2. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:

  x+y=4, x=0, Z=0.

Решение : Как было сказано, объем тела с помощью двойного интеграла выражается по формуле:

 

  - это цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси ОХ.

  Направляющей служит парабола, точнее одна ветвь параболы

 x+y=4 - это плоскость, параллельная оси OZ, пересекающая плоскость ХОУ по прямой,

 заданной уравнением x+y=4. Построим ее на том же чертеже.

 Уравнения Х=0 и Z=0 задают соответственно координатные плоскости ZOУ и ХОУ.

 Итак, нетрудно себе представить, что тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью , снизу плоскостью ХОУ, сбоку х=0 и x+y=4.

 Необходимо построить область D.

 Область интегрирования D принадлежит одновременно и к первому и ко второму виду.

Будем рассматривать ее как область первого вида. Воспользуемся формулой для области первого вида.

 Чтобы правильно расставить пределы интегрирования, нужно помнить, что пределами на внешнем интеграле могут быть только числа( пределы изменения Х ), а на внутреннем, в общем случае, функции. Нужно уяснить, какой кривой ограничена область снизу, и какой – сверху, и записать соответственно правые части уравнений кривых, решенных относительно У, в качестве пределов интегрирования. В качестве подинтегральной функции  пишем правую часть уравнения .

 Получим:

=

  Ответ: .

Решите самостоятельно следующие задачи:

Измените порядок интегрирования в двойном интеграле

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой

 

 

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

 Тройным интегралом от функции  по области Ư называется предел интегральной суммы при условии, что

,  где d- диаметр частичной области разбиения

  Для непрерывной в области U функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области U на элементарные и от выбора точек Рк (теорема о существовании тройного интеграла).

 Если  в области U, то тройной интеграл  физически есть масса тела, занимающего область U и имеющего переменную плотность

 В частности, если , то тройной интеграл определяет объем области U,т.е.

dU – элемент объёма.

 Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

 В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:


На главную