Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Вычисление тройного интеграла

 Пусть область интегрирования U определяется неравенствами:

Где y1(x), y2(x), z1( x, y), z2(x, y) – непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции  по области U вычисляется по формуле:

 Интеграл стоящий в правой части формулы называется трехкратным. Он принципиально мало чем отличается от двукратного, добавляется лишь интегрирование еще по одной переменной. Решить систему линейных уравнений: a) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.

Пример 1. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного

 поверхностями

z=0, z=4-y2, x2=2y.

 Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y2 с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

 Эти поверхности пересекаются по прямым: у = -2 и у = +2

 Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x2=2y с образующими, параллельными оси OZ

  

 Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д плоскости ХОУ

    

 Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

Получим 

Ответ:

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ).

Для определения вертикальных асимптот находим те значения , вблизи которых  неограниченно возрастает по абсолютной величине: , . Это и есть вертикальные асимптоты.

14.4 Т.к. , то горизонтальных асимптот нет, т.к.  неограниченно возрастает, когда  при .

Таким образом имеется вертикальная асимптота, ее уравнение .

При этом   при  и  при

Определим наклонные асимптоты , где ,

Итак, уравнение наклонной асимптоты

14.5. Область определения: вся числовая ось, кроме . Функция непрерывна всюду, кроме , следовательно имеется вертикальная асимптота: . Горизонтальных асимтот нет: .

Наклонные асимптоты: ,

Значит, наклонная асимптота одна:

Критические точки: , , , (не входит в область определения)

 

    (Не рассматривается, т.к. не входит в область определения) На интервалах и  выпуклость вверх . На интервале  выпуклость вниз  т.  - точка перегиба.

16.1 Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования

    

    

 При изменении  от 0 до  функция  монотонно возрастает и её значения заполняют первоначальный отрезок интегрирования

16.2 Учтите, что значение функции находятся на интервале

Ответ:

16.3 Ответ:

16.4 Подынтегральную функцию представьте в виде . Далее легко интегрируется.

Ответ: 

16.5

  Применена формула интегрирования по частям.

17.1 .

  При  предел существует и равен ;

 при   интеграл расходится .

17.2 Задача сводится к 17.1 подстановкой . Ответ: интеграл сходится при  и расходится .

17.3

17.4 Замена переменных . Особенность в точке . Ответ:

17.5   имеет особенность в точке  

 

 (проинтегрировали по частям)

 

 Но  (по правилу Лопиталя)

Ответ:

18.1 Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками

   

;  значит 

Итак, , значит .

Взяв значения функций в точках деления до третьего знака, получим точность числа   до второго знака.

21.1 Стационарные точки:

  

  x=-2, y=-1 ,следовательно, есть одна стационарная точка (-2, -1)

Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из отрезка оси , отрезка оси и отрезка АВ прямой

а) На оси , значит . Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке . Так как функция на отрезке непрерывна, она достигает наибольшего и наименьшего значения. Это происходит или в точках стационарности, или на концах отрезка. Определим точку стационарности .

Определим значение функции при  и на концах отрезка [-5,0]

 

б) На оси   значит 

 

   

в) Исследуем функцию z на отрезке AB. Уравнение АВ , значит   

 

 

 

Сравним теперь значение z  в стационарной точке (-2,-1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрезках ОА, ОВ и АВ.

, получаем, что наименьшего своего значения функция достигла в стационарной точке , а наибольшего – на границе области в точке (0,-5).

21.2 Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего значения функция достигает на границе области в точке , а . Наименьшего значения функция достигает в точке , а .

 21.3 Обозначим стороны треугольникаи . По формуле Герона площадь треугольника , так как - полупериметр, то  и  становится функцией не трёх, а только двух переменных

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции будем искать экстремум её квадрата . Находим стационарные точки   . Исследованию подлежит только одна точка , так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи(не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра).

Проверяем точку М. В ней функция достигает максимума. Итак, при

Так как , то треугольник равносторонний.

22.1

 

22.2 Градиент функции Z и производная по направлению a  связаны формулой - то есть производная по направлению равна проекции вектора-градиента на вектора.

В нашем случае

23.1 Для решения нужно представить себе область интегрирования. Решив систему

можно построить область интегрирования и найти точки пересечения линий, ограничивающих область пересечения.

   

 

Точки пересечения и . Постройте область интегрирования. Теперь изменим порядок интегрирования, то есть внешний интеграл будем брать по , а внутренний по . Заметим, что в пределах изменения  от -1 до 8 область интегрирования ограничена снизу одной линией: параболой, а сверху – двумя: параболой и прямой. Разобьем область интегрирования Д на две  и . Значит, придётся разбить наш интеграл на два. Область   ограничена сверху и снизу ветвями параболы  и , а область  снизу ограничена ветвью параболы , а сверху прямой  (при ).

23.2  По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно  и относительно . Биссектрисы координатных углов  и  также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При  ,  получим две точки пересечения с осью   и .

Аналогично при  получим , . Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

 


Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

Получим

  - уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.


На главную