Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Векторы

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)

1. Найти координаты векторов  .

Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):

2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.

Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны: . Для этого должны быть равны координаты этих векторов: ,

следовательно, , откуда .

Таким образом, искомая точка D(0;4)

Даны векторы: .

3. Найти скалярное произведение векторов  и ,

Решение: Найдем координаты указанных векторов:

,

.

Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:

4. Найти векторное произведение векторов  и ,

Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:

.

Таким образом,

5. Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами, отложенными из одной точки.

 Решение: Стороны треугольника как длины образующих его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно координаты вектора , образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания векторов, . Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:

,

.

Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.

Угол А треугольника образован векторами , следовательно,

.

Угол В образован векторами , следовательно,

.

Угол С образован векторами , следовательно,

 (этот угол тупой).

6. Найти площадь этого треугольника.

Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модулю векторного произведения векторов .

Векторное произведение векторов  равно

.

Модуль найденного векторного произведения равен

.

Следовательно, площадь треугольника АВС равна

Вопросы и задачи

п1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками М и N на три равные части. Найти вектор , если .

п2. Дано: . Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание: найти вектор  и доказать, что )

п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).

 а) Найти координаты векторов .

 б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом

п4. Найти скалярное произведение векторов  и , если

п5. Даны 2 вектора: . Будучи отложены из одной точки, они образуют две стороны треугольника. Найти:

 а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника

п6. Найти векторное произведение векторов  и , если

п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.

п8. Пусть даны два вектора на плоскости: .

 а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.

 б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.

 в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)

Теорема. Ограниченная интегрируема на квадрируемом

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами,интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь), т.е. : . Если, кроме того, - непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.

Можно доказать, что если - непрерывная на функция, то - интегрируема на .


На главную