Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 12. Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

1)  

2) (.

3) (.

РЕШЕНИЕ.

1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле:

.

Найдем ,

, так как для   функция . Вычислим массу  с помощью определенного интеграла:

=

Ответ. =256.

2) Кривая () задана явным выражением. В случае явного задания кривой криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом  :

.

Найдем .

Для массы  получим:

.

Ответ. .

3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной в полярной системе координат, в этом случае масса  может быть определена по формуле

.

Вычислим

Для определения массы кривой получим определенный интеграл

.

Ответ. =.

Соленоидальное поле. Векторная трубка в соленоидальном поле

Определение.- соленоидальное поле, если .

Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .

Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак, . На по определению векторной линии , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

17.Потенциальное поле

Легко вычислить, что .

Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле удовлетворяет условию , то - потенциальное, т.е. существует функция такая, что .

Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный. Полученное там условие и вполне аналогичны.


На главную