Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля вектора

,

найти потенциал  поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки  до точки .

РЕШЕНИЕ.

Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки  к точке   вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

=

.

Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:

.

Ответ. .

Легко проверить свойства ротора.

  1. , где под

понимаем векторное произведение.

Вспомним теперь теорему Стокса: , где - непрерывно дифференцируемые функции, - кусочно гладкая поверхность, - ее край, причем направление обхода относительно выбраной стороны является положительным.

Получим определение без использования системы координат. Пусть - точка, - плоскость, в которой лежит окружность радиуса с центром в . Тогда по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка близка к . По теореме Стокса, или .

Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.


На главную