Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 17. Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey  yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0).

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x)  y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:

e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0.

Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x = . Для нахождения y¢¢xx дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную функцию от x

y¢x = ;

y¢¢xx =.

Вычисляем значения производных в точке x0=0. Нам не удалось получить производные в виде функций одной переменной x: y¢x выражена через x, y ; y¢¢xx выражена через x, y, y¢x . Из уравнения, задающего неявную функцию, находим соответствующее x0=0 значение y0=0; вычисляем y¢x(0)=2; наконец, вычисляем y¢¢xx(0)=0.

Часто более простым способом нахождения y¢¢xx является повторное дифференцирование заданного уравнения. В нашем случае это означает дифференцирование уравнения e y+ x·e y· y¢ y¢·ex  y·ex+1=0:

e y· y¢ + e y· y¢+ x·e y·( y¢)2+ x·e y· y¢¢ y¢¢·ex– y¢·ex – y¢·ex  y·ex = 0.

Отсюда

y¢¢xx =.

Подставив значения y¢x, можно увидеть, что два внешне различных выражения для y¢¢xx, найденные разными способами, совпадут.

Ответ. y¢x = ; y¢x(0)=2;

y¢¢xx =; y¢¢xx(0)=0.

Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и `A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;
б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., xn, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

 a11 x1 + a12 x2 +... + a1r xr = b1 - a1,r+1 xr+1 -... - a1nxn,

  a21 x1 + a22 x2 +... + a2r xr = b2 - a2,r+1 xr+1 -... - a2nxn,

 ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ...

 ar1 x1 + ar2 x2 +... + arr xr = br - ar,r+1 xr+1 -... - arnxn.

Ее можно решить относительно x1, x2,..., xr, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1, x2,..., xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

 a 11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = 0,

 a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = 0, (5.5)

 ... ... ... ... ... ...

 am1 x1 + am1 x2 +... + amn xn = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =... = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1, x2,..., xn)T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l, что будет выполняться равенство

AX = lX.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

 (a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

 a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0,

  ... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

 an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

  = .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.


[an error occurred while processing this directive]