Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 18. С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76.

РЕШЕНИЕ.

Найдём дифференциал функции y(x) = в точке x: dy= y¢(x)dx = dx. Найдём рядом с точкой x=7,76 точку x0 , в которой значение вычислялось бы точно. Для этой роли подойдёт точка x0=8. По определению дифференциала

y(x0+x) = y(x0) + dy(x0)+o(x)

или в других обозначениях

y(x) = y(x0) + dy(x0)+o((xx0)), x = dx = x  x0 .

Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений

y(x)y(x0) + y¢(x0)( x  x0).

В нашей задаче +(7,76  8) 2+=1,98.

Ответ. 1,98.

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

19) ; 20) (ln2cos x·ln sin x3).

РЕШЕНИЯ.

19) . Имеет место неопределённость (). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:

==

использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела. Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).

Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел конечный или бесконечный, то

а) существует и предел ;

б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.

Применение правила Лопиталя производится в форме

=.

Цепочка при необходимости может быть продолжена = и так далее. И ещё одно замечание: правило Лопиталя верно и для односторонних пределов, и для пределов на бесконечности. Решаем свою задачу

==.

Мы нашли предел в показателе экспоненты.

Ответ. = e2.

20) (ln2cos x·ln sin x3). Имеет место неопределенность (). Для того, чтобы преобразовать её в (0/0) или , перенесём один из множителей в знаменатель, записав его в степени 1. В нашем случае лучше перенести первый множитель:

(ln2cos x·ln sin x3) = = (0/0) = =.

На примере этой задачи хорошо видно, что, ориентируясь, в основном, на применение правила Лопиталя, не нужно забывать о других приёмах, облегчающих вычисление пределов; иначе нагромождение формул очень затруднит или сделает невозможным выяснение характера неопределённости. В нашем случае во всех множителях, не дающих в пределе 0 или ¥  у нас это множители cos x3 и 1/cos x , нужно перейти к пределу,  а также  заменить множители sin x и

sin x3 на эквивалентные им более простые множители x и x3. Получим

==.

Делая попытку применить теорему о пределе частного, увидим, что неопределённость сохранилась, это снова (0/0). Применяем правило Лопиталя ещё раз:

== ln2cos x=0.

Ответ. (ln2cos x×ln sin x3) = 0.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е.
r(A) = r(`A) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

 a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,

 a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2, (5.3)

 ... ... ... ... ... ...

 an1 x1 + an1 x2 +... + ann xn = bn.

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

D = det (ai j)

и n вспомогательных определителей D i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.


[an error occurred while processing this directive]