Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

= 1+ t2+ + o(t4), ln2(1+t) = (t  + o(t2))( t  + o(t2)) = t2  t3 + o(t3).

Отсюда g(t) =  ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2) является o(t3) и т. д.

Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.

 Рис. 35

ЗАДАНИЕ 24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

.

РЕШЕНИЕ. Имеет место неопределённость (0/0). Выполним замену переменной x + 2 = t с целью использовать стандартные формулы Маклорена. Предел при этом преобразуется к виду: .

Нам понадобятся формулы

= 1+ t + + + o(t3) ; ln(1+t) = t  + + o(t3).

Первая из этих формул нужна также с выполненной в ней подстановкой t вместо t, вторая – с подстановкой 2t вместо t:

= 1 t + + o(t3); ln(1+2t) = 2t + + + o(t3).

Формулы выписываем с остаточным членом o(t3); этого достаточно, так как в условии в знаменателе дроби стоит t3.

 =  =  = –2 =¥

áчислитель заменили его главной частьюñ.

Ответ. = ¥.

Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1о - 8о, называется линейным или векторным пространством, которое в дальнейшем будем обозначать .

Назовем осью прямую, на которой задано направление. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью, или между двумя осями) называется наименьший угол , на который нужно повернуть один вектор (ось), чтобы он совпал по направлению c другим вектором (осью). Очевидно, что .


Проекцией вектора   на ось l (обозначается  или ) называется длина отрезка , заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора  на эту ось, взятая со знаком плюс, если направление от  до  совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если не совпадает (рис. 3.3, а, б).

Из определения и рис. 3.3 следует, что проекция  вектора  на ось l равна произведению длины вектора   на косинус угла  между вектором   и осью l, т.е.

 . (2.3)

Проекции векторов  и  на данную ось l обладают следующими свойствами:

1о. ; 2о. .

Пусть  и задана какая-то ось l. Применяя к каждому из этих векторов формулу (3.3), получаем

,

т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (началом координат) и общей единицей масштаба называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве (рис. 3.4), в которой ось 0х называется осью абсцисс, ось 0у - осью ординат и ось 0z - осью апликат.

C произвольной точкой  пространства свяжем вектор , называемый радиусом-вектором точки М, и спроектируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величи-ны соответствующих проекций: , , , а углы, образованные этим вектором с координатными осями 0х, 0у, 0z соответственно , , .

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором (или ортом) оси. Обозначим через  соответственно орты координатных осей 0х, 0у, 0z.

Теорема 1. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей.

□ Пусть  - произвольный вектор пространства , а х, у, z - его проекции на координатные оси. Так как мы рассматриваем свободные векторы, то совместим начало вектора   с началом координат и получим вектор   с теми же проекциями х, у, z (рис. 2.4).

Согласно правилу сложения векторов, имеем

.


[an error occurred while processing this directive]