Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

ЗАДАНИЕ 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:

а) y = ; б) y = (x 1); в) y =.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. План полного исследования поведения функции может быть, например, таким:

Область определения.

Чётность , нечётность, периодичность.

Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

Асимптотическое поведение при x®¥. Наклонные или горизонтальные асимптоты.

Интервалы монотонности, экстремумы.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Точки пересечения с осями координат.


РЕШЕНИЯ.

а) y = . Область определения: x¥ ,+¥). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна. При x®¥ ~= x, что говорит о наличии асимптот. Но при x®¥ все линейные функции y=kx+b с одинаковым k эквивалентны, поэтому для нахождения асимптот этого рассуждения не достаточно. Проведём вычисления по известным формулам:

k ==(/x) = 1;

b =(f(x)  kx)= ( x) = ( x) =

= .

Применим теперь эквивалентность (1+t)1 ~ t при t® 0. В нашем случае =, t = . Поэтому b = = 4.

Асимптота при x®+¥ найдена: y = x+4.

Анализ проведённых вычислений показывает, что прямая y = x+4 является асимптотой и при x®¥.

 Для ответа на вопросы пункта 5) необходимо изучение знаков первой производной, находим её:

y¢ = (x1/3 x+6)2/3)¢ =  x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3 = .

Множитель  знака не меняет, множитель x+2 меняет знак в точке x= 2, множитель  меняет знак в точке x= 6. Применяя метод интервалов, получим три интервала знакопостоянства производной, изображённые на рис.39, там же изображёны стрелки, отражающие возрастание или убывание функции.

Для ответа на вопросы пункта 6) необходимо изучение знаков второй производной, найдём её:

y¢¢ = ( x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3)¢=  .

Перемена знака дроби происходит только в точке x = 0. Получившиеся два интервала сохранения выпуклости или вогнутости изображены на рис.39 вместе с соответствующими рисунками.

Далее предлагается сделать ещё один вспомогательный рисунок, на котором на ось x наносятся все точки, которые проявились при рассмотрении пунктов 1)  6) плана исследования. На каждом из получившихся интервалов схематично изобразим поведение функции с помощью изогнутых стрелок или отрезков кривых одновременно отражая возрастание или убывание функции и её выпуклость или вогнутость рис.40.

Переходим к построению графика. Полученные “кусочки” графика нужно “склеить”, вычислив значения функции в точках, разделяющих интервалы, или приблизить к асимптотам. Имеем: y(6) = 0, y(2) = 2, y(0) = 0. Для более точного построения желательно вычислить в этих точках и значения первой производной. В нашем случае y¢(6) не существует, так как при x® 6 слева или справа пределом для y¢ являются бесконечности разных знаков множитель x+6) содержится в знаменателе в нечётной степени);

y¢(2) = 0, из чего следует: касательная к графику в точке (2, 2) горизонтальна; y¢(0) = ¥ касательная к кривой вертикальна.

Ещё одно замечание: часто перед построением графика заполняют таблицу вместо того или в дополнение к тому, что сделано на рис.40, приведём её также (см. рис.42).

Ответ. График изображён на рис.41; ymin=2 при x=2, ymax=0 при x=6, точка перегиба графика (0,0).

 

Рис.39 Рис.40 

 Рис.41

 

x

(–¥,–6)

–6

(–6,–2)

–2

(–2,0)

0

(0,+¥)

y/

+

не $

0

+

¥

+

 

y//

+

¥

+

+

+

не $

 

y

0

2

0

 

Локальный

max

Локальный

min

перегиб

 

Рис.42

Линейная алгебра.

Понятие матрицы. Виды матриц.

 Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =  (1.1)

или сокращенно в виде A = (ai j) (i =; j = ). Числа ai j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (ai j) и B = (bi j) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если ai j = bi j.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы ai i диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.


[an error occurred while processing this directive]