Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:

 = ¥= +¥ ;

(x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

(x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

(x 1) = ¥e0 = ¥ ¥.

Ищем наклонные асимптоты:

k = =  = ×= 1e0 = 1;

предел при x®¥ такой же.

b =(f(x)  kx) = ((x 1) x) = (x ( 1)  ) =

=(x) = 11=0,

такой же предел получается и при x®¥. Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x ® +¥, так и при x®¥.

 Вычисляем y¢(x):

y¢ = + (x1)() =(1) =,

видим, что y¢(x) всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов ¥ ,1) и (1,+¥ ), составляющих область определения.

 Вычисляем y¢¢(x):

y¢¢(x) = ((1))¢ =  ;

знак второй производной меняется только в точке x =  .

 Делаем вспомогательные рисунки (рис.43), вычисляем значение

y(5/3) = 8/(3e) и строим график. Ответ: график изображён на рис.44; экстремумов нет, точка перегиба графика (5/3, 8/(3e)).

Рис.43 Рис.44

в) y =. Область определения: x(0, 1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. В точках области определения функция непрерывна. Исследуем поведение функции у границы области определения: ==0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:  = +¥, так как функция ln x при x >1 положительна;  = ¥. Вывод: прямая x = 1  вертикальная асимптота. Переходим к изучению поведения функции при x® +¥== 0; отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

 Вычислим производные: y¢ = , она всегда отрицательна;

 y¢¢(x) =. Знак второй производной меняется при перемене знака множителя (2 + ln x), что происходит в точке x = e 2, и при перемене знака множителя ln3 x, что происходит в точке x = 1. Делаем вспомогательные рисункирис.45, вычисляем значение y(e 2) = 1/2 и строим график.

Ответ. График изображён на рис.46; экстремумов нет, точка перегиба графика (e 2, 1/2).

Рис.45 Рис.46

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i = )

или j- го столбца

d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + an j An j (j = ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.


[an error occurred while processing this directive]