Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

Интегрирование рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.

Лекция I.

План

Матрицы. Терминология

Принцип равенства

Транспонирование матриц

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Матрицы. Терминология

Прямоугольная таблица действительных чисел

 (1.1)

называется действительной матрицей. Числа , образующие матрицу, называются её элементами. Здесь . Для обозначения матриц будем применять заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, ..., X, Y, Z, а для обозначения их элементов – греческие буквы  и т.д. с индексами  и . При этом первый слева индекс (индекс ) указывает номер строки, а второй индекс (индекс ) – на номер столбца матрицы, на пересечении которых расположен элемент . Наряду с обозначением (1.1) в литературе часто встречаются сокращенные обозначения

или просто . Эти обозначения мы также будем использовать в дальнейшем.

Введем специальные обозначения для строк и столбцов матрицы :

а множество всех действительных матриц с строками и столбцами будем обозначать через . Если , матрица называется прямоугольной матрицей порядка , а если  - квадратной матрицей порядка . Множество всех действительных квадратных матриц порядка обозначается . Матрица , имеющая только одну строку,

,

называется матрицей-строкой порядка .

Матрица , имеющая только один столбец,

,

называется матрицей-столбцом порядка . Матрицы-строки и матрицы-столбцы называются также арифметическими векторами. Множество всех арифметических векторов (матриц-столбцов) порядка  в дальнейшем будем обозначать через .

Элементы  матрицы  образуют её главную диагональ. Если все элементы матрицы , не стоящие на её главной диагонали, равны нулю,

,

матрица  называется диагональной. Квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю,

называется нижне-треугольной (верхне-треугольной) матрицей.

Понятие матрицы является одним из основных понятий курса алгебры. Элементами числовых матриц (целочисленных, рациональных, действительных, комплексных, булевых) являются числа (целые, рациональные, действительные, комплексные, булевы числа 0 и 1). В этом курсе мы будем иметь дело прежде всего с действительными матрицами. Тем не менее, обозначения  и т.д. имеют очевидный смысл. Наряду с числовыми матрицами в этом и других математических курсах встречаются более сложные типы матриц: полиномиальные, функциональные, блочные и т.д., то есть матрицы, элементами которых являются соответственно полиномы (многочлены), функции, блоки (матрицы одинакового порядка) и т.д. В связи с этим отметим, что все положения и свойства матриц, рассматриваемые в данном разделе, с надлежащими уточнениями справедливы и для других указанных выше типов матриц, характер же этих уточнений мы будем обсуждать всякий раз в соответствующем месте.

Принцип равенства

Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

  ,

где  и  некоторые натуральные числа.

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

  (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

 

1.5 Умножение матрицы на число

Пусть матрица  имеет вид (1.1), . Произведением матрицы  на число  называется матрица

Скалярное умножение арифметических векторов

1.7 Умножение матриц

1.6 Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

 

Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение  определено формулой

,

т.е. если , тогда

– элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы  равен скалярному произведению -ого столбца матрицы  (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

 ◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

 ◄ Прежде всего заметим, что произведение  и  не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если  и  существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при  матрицы  и  разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если  и, следовательно,  и  одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

.  ►

Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

 (1.10)

  ◄ Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

 

 

 . ►

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

Теория делимости квадратных матриц

 1.9* Основные типы алгебраических структур

 1.10 Элементарные преобразования над матрицами

 и элементарные матрицы

1.8 Теория делимости квадратных матриц

  Предложение 1.1. Если матрица  является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

 ◄ Пусть матрица  и существует такая матрица , , что  или . Тогда матрица  не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства  на матрицу  справа (или обе части равенства  на матрицу  слева), получаем, что

 

и аналогично в случае . ►

 Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица  отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».

Основные типы алгебраических структур.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

 Пусть . Внутренним законом композиции на множестве   называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве  каждой паре  элементов множества  ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов  и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

 

,

  и т.д.

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

  Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве .

◄ Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) – 4) сложения матриц.  ►

 Если на множестве  определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

 1) сложение определяет на  структуру абелевой группы;

 2) ;

 3)  для любых  из ,

тогда говорят, что на множестве  задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

 Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

 1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения –   или  соответственно;

 2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения –  или  соответственно, ;

 3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения –  или  соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

Свойства элементарных преобразований.

  1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

 ◄ Пусть в матрице  нужно поменять местами, например, строки  и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

.  ►

 2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица  получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования, тогда матрица  может быть получена из матрицы  с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

 

Дейстия над матрицами и их свойства.

  Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

AT =,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l ai j).

Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется матрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются по формуле ci j = ai j + bi j.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +... + ai m bm k = ai s bs k. (1.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.


[an error occurred while processing this directive]