Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Скалярное умножение арифметических векторов

1.7 Умножение матриц

1.6 Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

 

два арифметических вектора порядка . Скалярным произведением этих векторов называется действительное число, которое обозначается  и находится по правилу

 (1.7)

В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух векторов-строк порядка  также вводится по формуле (1.7), т.е.

.

Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.

1) Скалярное произведение симметрично, т.е.для любых  и  из .

 ◄ Действительно,

ввиду коммутативности операций умножения в . ►

2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых  из .

 ◄ Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где

Действительно,

. ►

3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых действительных чисел  и любых векторов  и  из

Арифметический вектор  является линейной комбинацией векторов , если найдутся такие действительные числа , что

.  (1.8)

Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор  имеет вид (1.8), тогда

для любых векторов  из  и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности, если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство

, где , тогда

.

4) Скалярное произведение  вектора  на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. . Причём равенство  выполняется лишь для

Скалярное произведение векторов. Векторное и смешенное произведение векторов. Их использование.

Скалярным произведением двух векторов  и  (обозначается ) называется число, равное произведение модулей перемножаемых векторов на косинус угла  между ними (рис. 3.6). Таким образом, по определению

  . (2.16)

Так как произведение  есть проекция вектора  на ось, определяемую вектором  (обозначается ), и  - проекция вектора  на ось вектора  (обозначается ), то из (3.16) следует, что

 . (2.17)

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Из (3.17) находим выражения для проекции одного вектора на направление другого:

   (2.18)

В частном случае, если , то

  (2.19)

Проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1о. Скалярное произведение коммутативно:

 .

2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:

 

3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

 .

4о.   (либо , либо , либо ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов  и  является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.

 

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:

  .

Таким образом,

 , (2.20)

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.


На главную