Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Предел функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

 Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это

значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥.

 Предел функции f(x) в точке a: – это (говоря упрощенно) число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к а. Если функция непрерывна в точке а, это значит, что ее предел в этой точке равен ее значению: . Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел.

Именно, возможны следующие случаи:

.

 Если же при подстановке получается один из следующих вариантов:

- это так называемые неопределенности, то есть в зависимости от свойств конкретных функций пределы в этих случаях получаются разные. Вычисление предела в таких случаях требует применения приемов раскрытия неопределенности. Например, иногда можно упростить выражение, сократив неопределенность, как мы делали это при вычислении предела последовательности.

 Другим полезным приемом является применение эквивалентных функций из следующей таблицы:


  (читают: sinх эквивалентна х если х стремится к нулю)

 

 

 

 

 

 

 

 

 Значение предела не изменится, если одну или несколько функций заменить на им эквивалентные. Однако при этом следует помнить, что никакая функция не может быть эквивалентна 0. То есть в сумме или разности эквивалентности не всегда можно применять.

Например, .

Но . Для этой функции справедливы будут следующие рассуждения:

.

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: подставим предельное значение аргумента:

.

2. Вычислить

Решение: подставив предельное значение аргумента убеждаемся, что имеет место неопределенность . Преобразуем выражение, умножив и разделив на сопряженное ():

.

3. Вычислить .

Решение: подставив предельное значение аргумента убеждаемся, что имеет место неопределенность . Поскольку аргумент функции sin стремится к 0 (3х®0), можем применить эквивалентность: . Таким образом, получаем:

.

4. Вычислить .

Решение:

(имеем право применять эквивалентность для функции ln, так как ее аргумент х2-3®1 и для экспоненты, так как ее аргумент х-2®0).

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами .

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки .

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой "почти параллелограмм".

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т.е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.


На главную