Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Производная функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл, ее свойства подробно описаны в §13 лекций. Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). При этом следует помнить, что .

Примеры.

Вычислить производные функций:

а); б); в); г)y=sin2x; д)y=ln(x2+1)

Решение:

 а)

 .

 б)

 .

 в) .

 г) .

 д) .

 Производная широко применяется в исследовании функции и при решении связанных с этим практических задач.

 В том числе дифференцирование применяют для вычисления пределов, используя так называемое правило Лопиталя:

Предел отношения функций, представляющий неопределенность вида   или , равен пределу отношения их производных: 

12-13. Производная и дифференциал. Исследование функций.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры.

Примеры.

Вычислить производные функций:

Дифференциал функции

. Таким образом, .

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Пример. Дана функция Найти

Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: . Для того. Чтобы найти вторую производную , продифференцируем данную функцию последовательно дважды:

 ;

.

Таким образом,

задачи

Выполнить, если возможно, действия с матрицами:

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

3.Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.


На главную