Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Каким элементарным преобразованиям матрицы размера   соответствуют элементарные матрицы:

,

, .

 18. В матрице  произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицы  или  ( соответствуют строчным преобразованиям,  – столбцовым):

 а) ,

.

  б) ,

,

.

19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

  а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

 а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Определения дифференциала функции. Правила нахождения дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Дифференциал функции и его геометрический смысл. Пусть функция   дифференцируема в точке . Тогда, как следует из (14.43), приращение функции  представляет собой сумму двух слагаемых  и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть б.м.ф. одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого порядка, чем : .

Поэтому первое слагаемое , линейное относительно , называется главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

Дифференциал функции обозначается символом  или . Из определения следует,

.  (14.45)

Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (14.45), имеем . Поэтому формулу (14.45) можно записать так:

.  (5.1)

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим график функции  (рис. 5.1), дифференцируемой в точке x. Проведем касательную к кривой в точке M с абсциссой x. Зададим в точке x приращение , отметим на кривой точку N с абсциссой . Проведем построение, указанное на рисунке. Из треугольника AMB получим (СР 10.13) . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (5.1), получим , т.е. дифференциал функции  в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функций в этой точке, когда x получит приращение .

Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Как известно, если функция   дифференцируема в точке , то на основании формулы (5.2.) ее приращение , соответствующее приращению , можно записать следующим образом:

,

где . Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых  может служить хорошим приближением приращения функции. Отбрасывая б.м.  более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство

,  (5.3.)

которое позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство (5.2.) более подробно. Так как , а , то

.  (5.3.)

Полученная формула и лежит в основе приближенного вычисления функции в точке . Она дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.


На главную