Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Неопределенный интеграл

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Как и в примере 1, вычислим дифференциал  .

Числитель подынтегральной дроби  преобразуем тождественно к виду, содержащему . Исходя из преобразований, сделанных выше, получаем:

 .

Разделив почленно подынтегральную функцию, получим:

Первый интеграл это интеграл вида .

.

Для того чтобы вычислить второй интеграл, выделим полный квадрат из выражения ():

Второй инте грал теперь будет иметь следующий вид:

.

С учетом того, что , этот интеграл табличный.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:

.

С помощью дифференциала функции можно вычислить абсолютную погрешность функции   ( абсолютную величину разности между точным числом и его приближенным значением), если известна абсолютная погрешность  аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции  при некотором значении аргумента, которое можно представить как . Отсюда

.  (5.4.)

Тогда, согласно (14.48),

.  (5.5)

Относительная погрешность функции  выражается формулой

  . (5.6.)

Инвариантность формы дифференциала. Рассмотрим сложную функцию , где  и найдем ее дифференциал.

Если  – независимая переменная, то, по формуле (14.46)

,  (5.7)

где . Если же независимой переменной служит , то

,

т.е. и в этом случае

. (5.8)

Формулы (14.52) и (14.53), совпадающие по форме, имеют различный смысл: в формуле (14.52) , а в формуле (14.53) – .

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом и заключается свойство инвариантности (независимости) формы первого дифференциала, которое позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную дифференцированию (интегрирование).

Из формул (14.52) и (14.53) следует, что

,

т.е. производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции   и переменной  независимо от того, является ли  независимой переменной или функцией .

Понятие производной -го порядка. Пусть функция  имеет конечную производную  в каждой точке некоторого промежутка, называемую производной первого порядка. Но производная  сама является функцией от , которая также может иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка (или второй производной) от функции  и обозначают символом  или :  (читается “игрек два штриха” или “эф два штриха от икс”). Так, например, если , то , .

Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то ее называют производной третьего порядка (или третьей производной) от функции  и обозначают символом  или : .

Вообще, производной -го порядка от функции  называют производную от производной -го порядка и обозначают символом  или :

 (14.54)

Отметим, что в формуле (14.54) принято , т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.


На главную