Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным  и , для составления правой части формулы, вычисляем   и:

.

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо   их выражения.

 

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 5. Найти интеграл  .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.

Пример  6. Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:

Пример 8. Найти интеграл .

Определенный интеграл

1. Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.

Производные порядка выше первого называют производными высших порядков.

Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой. Таковой является, например, функция .

Формулы для -х производных некоторых функций.

1) Вычислим -ю производную степенной функции , , . Последовательно дифференцируя, имеем:

; ; … ;

.  (5.9)

В частности, если , где , то получим

 при .

2) Вычислим -ю производную показательной функции ,  и . Последовательно дифференцируя, имеем:

; ; … ;

.  (5.10)

В частности, если , то

.  (5.11)

3) Вычислим -ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем (СР 7):

;

…………………………..… ;

.  (5.12)

4) Аналогично можно получить формулу -й производной функции :

.  (5.13)

Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их -х производных.

Механический смысл производной второго порядка. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где  – путь, пройденный точкой за время . Выше было установлено, что производная  равна скорости точки в данный момент времени, т.е. , где скорость  этого движения является некоторой функцией времени : .

Пусть в момент времени  скорость точки равна , а в момент времени  – скорость равна . Тогда за промежуток времени  скорость изменится на величину .

Отношение  выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при  называется ускорением точки М в данный момент времени  и обозначается буквой :

.

Так как , то можно записать

.

Таким образом, с механической точки зрения вторая производная от пути по времени есть ускорение в этой точке.


На главную