Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Определенный интеграл

1. Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.

В высшей алгебре доказывается следующая теорема.

Теорема 16.7. Всякую правильную рациональную дробь (16.35) со знаменателем, представленным в виде (16.34), можно единственным образом представить в виде следующей суммы простейших дробей типа 1 ÷ 4:

, (6.38)

где   – некоторые действительные числа, называемые коэффициентами разложения.

Проиллюстрируем формулу (16.38) конкретными примерами.

Интегрирование иррациональных и трегонометрических функций

Понятие о методе рационализации. Если для интеграла , где подынтегральная функция  не является рациональной, можно указать такую подстановку, которая приводит его к виду , где  – рациональная функция, то последний интеграл, а значит, и интеграл , выражается в элементарных функциях. Применение такой подстановки для взятия интеграла   называют методом рационализации.

Например, в интеграле  подынтегральная функция не является рациональной. Применим подстановку , откуда , , . Тогда получим  , т.е. данный интеграл преобразован в интеграл от рациональной функции.

Для обозначения рациональной функции будем использовать букву  (например, ).

Ранее были рассмотрены рациональные функции одного аргумента . Наряду с такими функциями, рассмотрим рациональные функции двух, трех и большего числа переменных, т.е. таких, над аргументами которых производятся только рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление). Например,   – рациональная функция двух аргументов.

Заметим, что если  – рациональная функция, а  и  в свою очередь – рациональные функции от , т.е. , то сложная функция  также рациональна. В частности, сума, разность, произведение и частное рациональных функций являются функциями рациональными.

Данная функция может не быть рациональной относительно ее аргументов, но заменой переменной ее иногда можно привести к рациональному виду относительно новых переменных. Например, функция

не является рациональной; если положить  и , то получим рациональную функцию . Функция  является рациональной относительно  и : .

Интегралы вида . Покажем, что любой интеграл такого вида с помощью подстановки , которая называется универсальной, приводится к интегралу от рациональной функции . В самом деле, применяя известные в тригонометрии формулы СР: (7.28); (7.29) и ТП: 24, имеем

, (6.40)

так как .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо ,  и  их значения через , получим

,

где  – рациональная функция от .

Интегралы вида

 (6.41)

целесообразно находить с помощью универсальной подстановки.


На главную