Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Площадь плоской криволинейной трапеции.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

Найдем координаты точек пересечения данных линий:

Для этого решаем систему уравнений , ее решением являются точки A(2;3), B(5;0).

Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB.

Для вычисления площадей воспользуемся формулой: Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

, где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х. В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB . Вычислим площадь этой фигуры:

Для фигуры FAB , следовательно, имеем:

.

Площадь искомой фигуры будет равна: .

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Построим данную кривую.

Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений  из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием  от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью.

Вычислим площадь данной фигуры по формуле:, где и  пределы, в которых лежит данная фигура. В нашем случае .

Подставляя все эти величины в формулу, получаем:

.

Верно и обратное утверждение:

        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$. Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке $ [a;b]$, существуют и равны определённому интегралу:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.

Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению $ X$, можно указать такие точки разметки $ \ov x_i$(при том же самом разбиении $ X$), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках $ \ov x_i$будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла $ I$(тоже, скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$. Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на $ {\varepsilon}$) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к $ I$при неограниченном измельчении разбиения.     

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Теорема 7.3   Если функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$, то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям $ f(\ov x_i)=\ul y_i$и $ f(\ov{\ov x}_i)=\ov y_i$. Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления $ x_i$нижние интегральные суммы $ \ul S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ul y_ih_i$не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм $ \ov S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ov y_ih_i$; аналогично, верхние интегральные суммы $ \ov S(\Xi)$не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы $ \ul S(\Xi)$. Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.     

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция $ f(x)$ -- линейна: $ f(x)=kx+c$. Это непрерывная на любом отрезке $ [a;b]$функция, так что интеграл, задающий площадь $ S$под графиком, существует:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок $ [a;b]$на $ n$равных частей, длина каждой из которых будет $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\frac{b-a}{n}$, а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим $ \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$. тогда величина $ \wt S_i$будет в точности равна площади $ S_i$(см. рис.):

Рис.3.3.



Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции $ S$. Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая $ n$), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме $ S$, значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции.


На главную