Математика Электротехника Лабораторные по электронике Строительная механика Машиностроительное черчение Атомная энергетика Ядерные реакторы История искусства На главную

А если завтра контрольная?

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:

Длина дуги вычисляется по формуле .

Для данной задачи .

Подставляя все эти значения в формулу, получаем :

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример 16. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем поолучившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).

При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:

FKE: 

KACE: 

ACB: .

Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:

  +  +

16.6º. Если  – первообразная для функции , то

.  (6.9)

□ Действительно,

. <

Например, .

6.7º. . (6.10)

□ Действительно,

<

Таблица основных неопределенных интегралов. Отыскание первообразной от данной функции является задачей более сложной, чем задача нахождения по данной функции ее производной. В дифференциальном исчислении, на основе правил и формул дифференцирования, было установлено, что производная любой элементарной функции – также элементарная функция. Для отыскания первообразных от элементарных функций, единого алгоритма, подобного алгоритму дифференцирования, не существует. Методы нахождения первообразных (т.е. интегрирования функции) сводятся к указанию ряда приемов, выполнение которых во многих случаях приводит к цели.

Для облегчения интегрирования составляется таблица так называемых основных интегралов, которая получается на основании определения неопределенного интеграла, свойств интегрирования и таблицы производных.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования  может обозначать как независимую переменную , так и функцию от независимой переменной, согласно свойству 6.5º.

Приведем таблицу основных интегралов, вывод ряда формул которой будет дан при рассмотрении основных методов интегрирования.

   ();

;

;  4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. 

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

Рекуррентная формула

29. .

Справедливость формул таблицы интегралов, не имеющих аналогов в таблице производных, проверяется непосредственно путем дифференцирования их правых частей. Для примера докажем формулу 21. Имеем

.

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 2 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку ; формула 21 – для интервала () и т.п.

Применяя (16.9), можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:

;

, и т.д.

Если первообразная  для функции  является элементарной функцией, то говорят, что интеграл  выражается в элементарных функциях. Однако интеграл от элементарной функции может привести к неэлементарной функции, т.е. функции, которая не выражается через конечное число арифметических действий и суперпозиций элементарных функций. Так, например, известно, что интегралы

  – интеграл Пуассона,

 – интегралы Френеля,

  – интегральный логарифм и сводящийся к нему ,

  , – интегральный синус и конус хотя и существуют, но не выражаются в элементарных функциях.

Искусство интегрирования состоит в умении с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подынтегральное выражение к табличному, или сначала хотя бы упростить его. Для этого применяются различные методы интегрирования.


На главную